A9908001    解答一下   

2011/02/10 23:22

1.設前n個奇數的和為aⁿ,試利用數學歸納法證明:對於所有的自然數,aⁿ=n².
2.試證:對於所有的自然數n,3⁴ⁿ⁺²+5²ⁿ⁺¹恆被14整除.
3.設數列<a_n>,已知a₁=1/2且滿足a_n+1=2a_n/a_n+2(n大於等於1)
(1)試求a₁,a₂,a₃的值.
(2)試推測一般項的通式.
(3)利用數學歸納法,驗證(2)所推測的結果.
4.設數列<a_n>有以下的規律:a₁=1-1/4,a₂=(1-1/4)(1-1/9),...
                                       a₂=(1-1/4)(1-1/9)...[1-1/(k+1)²],...
(1)試求數列<a_n>的遞迴關係式.
(2)試推測一般項的通式.
(3)利用數學歸納法,驗證(2)所推測的結果.
5.設數列<a_n>,已知a₁=2且滿足a_n+1=3a_n-2(大於等於1).
(1)試求a₂,a₃,a₄的值
(2)設遞迴關係式a_n+1=3a_n-2可化成a_n+1-k=3(a_n-k),試求k的值.
(3)試求數列<a_n>一般項的通式.
  (提示:可以先求數列<b_n>的一般項,其中=b_n=a_n-k)